6月22日第一次更新 补充了公理化集合论的内容

令人尴尬的是，集合(set)好像是唯一一个没有定义的数学概念。

在讲集合之前，我想讲讲为什么许多数学书籍（比如说Baby Rudin、Zorich的数分等等）会从集合这一概念讲起。现代化的数学，是可以交给一种我称为“理想计算机“的东西处理的。所谓理想计算机，有点像我上一篇文章里讲的“公理推理系统”。它可以根据我们给的逻辑规则，从公理和定义中推理出所有我们已知的定理。但是它不像我们，有直觉和感性，它的每一步推理都是从我们给它的最初条件得出的。那么比如说我们要给这个理想计算机输入“数”的概念，那么得让它明白什么是数。这个我们从小由数苹果等实践行为得出的数的概念，显然这个机器是理解不了的。同样地，我们想输入其他数学概念，都会遇到类似的难题。每给这个理想化计算机一个概念的定义，总需要我们用它已知的概念去解释这个定义。由此追根溯源，“集合”便是它最初需要理解的东西。那集合我们又能怎么用它已知的东西去定义呢？除了集合，它啥也不知道。由于这个原因，集合我们也就无从给它定义了，就权当"cram it into mind"吧。（关于集合定义“数”，这个我后面的文章里也许会讲。）

顺便再提一点，把我们的知识变成能让理想计算机识别的东西的过程，从某种意义上讲，就是“公理化”的过程。

集合的概念出现得较晚，大约在上个世纪初才由Cantor引入。

基本概念

如果a是集合S的元素(element),则记作

我们常用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示集合的元素。

打个比方，集合就是一个大箱子，而元素则是我们打开箱子第一眼看到的东西，无论这大箱子里面，是小箱子，亦或是小球，都是这个集合的元素。但是，小箱子里面的东西，则不是这个大箱子的元素。举个例子，

的元素分别是x、1、

、1926、

、

。现实中，就比如说，我们国家所有的省级行政区组成的集合的元素，既包括××省，也包括××市，还有××自治区，虽然省中也有市，但是省级行政区的市的地位和省是一样的。

如果

且

，那么称集合A和B相等，记为

此外，集合的元素具有无序性，相异性。即：

,

(有人也许会说，

这样的写法是错的。我并不认同，因为元素的相异性是集合的一个性质，而非集合的定义中的一部分，而

这样的写法并不违反我们之前的规定。)

以集合为元素的集合也可称为集族。以数为元素的集合也可称作数集。（注意一下，这说明集合的元素可以不是数，比如说上面的

、

）

不含任何元素的集合称为空集(empty set)，记作……这个你们都知道的对不对，我就不打了。（知乎的公式好像输入不了？）空集=

={勥巭炛|有女朋友的勥巭炛}（划）

正如0一样，空集并非什么都没有，空集自身也是一个客观存在的集合。{空集}≠空集

这里要注意一点，集合的描述法

具有全称性，即

已知集合A、B，那么集合

称为A和B的并集(union)，记作

；集合

称为A和B的交集(intersection),记作

，集合

称为B对A的相对补集(relative complement)，记作

。

对于集族

，我们将

记作

,我们将

记作

.

对于无穷集族

,我们类似地记

和

.

如果

,则称A为B的子集(subset)，记作

，读作A包含于B

由子集的概念我们知道，

等价于

且

如果

，且A≠B,那么称A为B的真子集(proper subset)，记作……这个同样知乎打不出来。。。读作A真包含于B(这里我吐槽一下，苏教版的高中数学必修一里，真子集的英文一直是proper set，错了好几年了。。)

（关于包含和真包含的符号，美苏两国的记号不一样，看文献时需注意）

空集是所有集合的子集，是所有非空集合的真子集。

这个有人说是规定，也有的人说是定理。我倾向于定理。证明的话，就是该命题等价于：