作者：逆蝶，哆嗒数学网群友，就读于中国科学技术大学

虚数，是数系中最伟大的发现之一，但是就像无理数的发现过程是坎坷的一样，引入虚数的路途也不是一帆风顺的。在虚数刚出现之时，曾引起数学界的一片困惑，认为虚数是没有意义的，想象的，虚无缥缈的，很多大数学家都不承认虚数。

莱布尼茨曾说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。”

然而虚数并不是偶然引入的一种虚无缥缈的东西。三次方程求根问题是历史上一个著名的数学问题，一直有数学家尝试给出这个问题的解。直到十六世纪，意大利数学家塔塔里亚才发现三次方程的求根公式。在这之后，虚数的引入就成了一个实际的数学问题，而不再是单纯的一个符号演算。不承认虚数的存在，就意味着无法求解三次方程的根。

虚数出现之后，法国数学家棣莫佛发现著名的棣莫佛公式，欧拉用i表示-1的平方根，将i作为虚数的单位，挪威测量学家韦塞尔试图给虚数以直观的几何解释，高斯对于复素数进行了一系列的研究。再加上柯西及阿贝尔的努力，以及复变函数论的创立，复数理论才比较完整和系统地建立起来，逐渐为数学家所接受。

复数z被定义为二元有序实数对(x,y)，记为z=x+yi，其中i是虚根单位。在复数z=x+yi中，x=Re(z)称为实部，y=Im(z)称为虚部。当虚部b=0时，z可视为实数；当虚部b≠0而实部a=0时，z称为虚数，或者纯虚数。

定义两虚数a+bi与c+di的加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i

根据乘法的定义可得i²=-1，容易验证复数运算和实数运算的运算法则基本相同，只不过是在运算过程中带上符号i而已。

将复数z=x+yi等同于平面上的点或者向量(x，y)，那么z有长度sqrt{x²+y²}(这里sqrt表示开根号)，称为复数z的模长，记为|z|。复数z'=x-yi，即z关于x轴的对称点，称为z的共轭复数，容易验证zz'=|z|²。另外复数的加法，就等同于向量之间的加法。

记r=|z|，t为z与x轴正方向的夹角，称为z的幅角，那么有x=rcost，y=rsint，于是有z=r(cost+isint)，称为复数z的三角表示。欧拉证明了e^(it)=cost+isint，所以也有z=re^(it)(x^y 表示x的y次方)，称为z的指数表示。

复数的乘法用三角表示或者指数表示是简单的。通过三角函数的运算可以简单证明若z=re^(it)，w=pe^(is)，那么zw=rpe^(i(t+s))。也就是说，两个复数相乘所得到的复数，其模是两个复数模的乘积，其幅角是两个复数幅角的和。因此w乘以z，即为w的长度伸缩为原来的r倍，并将w逆时针旋转角度t。

利用e^(πi/2)=cos(π/2) + i sin(π/2)=i，可得一个复数z乘以i所得复数iz可以由复数z逆时针旋转90°得到，这说明复数的确是有几何意义的。

除了以上的几种表示，复数还有矩阵表示。把复数z=x+yi等同于下面形式的矩阵。

那么容易验证复数的加法与矩阵的加法相容，复数的乘法也与矩阵的乘法相容，而且令人惊奇的是这样的矩阵在矩阵乘法下居然是可以交换的。而复数的模长即为矩阵行列式的平方根，复数的共轭就是矩阵的转置。并且还可以发现下面图片所展示的等同关系。

当r=1，即z=e^(it)时，z乘以一个复数w相当于把w逆时针旋转角度t。根据同种理由，称z所对应的矩阵（如下图）为旋转矩阵。

关于复数的减法，自然的定义为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。对于除法，由zz'=|z|²，可以得到1/z=z'/|z|²，这提醒我们可以把复数除法定义为w/z=wz'/|z|²。